2 RECHERCHE

C. Oguey,     LPTM, UCP

Mes thèmes de recherche s’inscrivent en théorie de la matière condensée et des systèmes complexes : structure, dynamique, organisation, fonction. Les méthodes se fondent sur les mathématiques (géométrie et probabilités), la physique statistique, l’informatique et des calculs numériques.

Liste des principaux thèmes de recherche (passés et présents)

Mes collaborateurs principaux

dans un ordre plus ou moins historique :

Résumé des thèmes en cours de développement

1. Surfaces minimales - morphologie des mésophases

Mathématiquement, les surfaces minimales sont définies par la condition de courbure moyenne nulle. Ces surfaces sont donc de type hyperbolique, partout localement semblables à une selle de cheval. En physique, les surfaces minimales modélisent des films de savon, mais aussi la forme du film interfacial dans des cristaux de films, des phases éponges, etc. Ces mésophases apparaissent dans des mélanges de tensioactifs et de solvants (le prototype étant savon + eau + éventuellement huile), dans des mélanges de copolymères ou même dans le cytoplasme. L’interface se structure en mono- ou bi-couches adoptant diverses morphologies selon la concentration ou la température : phases lamellaires, hexagonales, cubiques, amorphes, etc.

Les structures les plus riches apparaissent aux concentrations intermédiaires, dans la partie centrale du diagramme de phases. Certaines d’entre elles correspondent à des surface minimales triplement périodiques, voire même de symétrie cubique. Les plus connues (aussi les plus simples), sont les et la giroide, G, de Shoen, qui ne contient ni droite ni plan de symétrie. Toutes les trois sont cubiques et de genre 3 par maille de périodicité.


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FIGURE 2.1: Surface P de Schwartz.


La minimalité confère une certaine rigidité à la surface (la somme de deux courbures doit être nulle partout sur la surface). Sous contraintes, comment se déforment-elles ? Le terme de courbure moyenne étant le premier dans l’expression de l’énergie libre [Helfrich], il y a lieu de penser que le film reste une surface minimale quand on déforme macroscopiquement l’échantillon. Encore faut-il que ce soit géométriquement possible. Ça l’est : il existe une famille à 5 paramètres de surfaces qui sont des déformations, toujours minimales, des surfaces P, D, G. La méthode repose sur la formule intégrale de Weierstrass-Ennepper, c’est à dire sur l’analyse complexe [1].

2. Phases complexes — Graphes enchevêtrés

**Penrose** Il y a mille et une manières de disposer des graphes — édifices de noeuds reliés par des liens — dans l’espace. La nature a les siennes qui, dans le cadre des polymères, donnent parfois lieu à des enchevêtrements compliqués, même quand la structure est globalement périodique. Avec S. Hyde (ANU Canberra), nous avons développé une méthode à la fois d’analyse et de construction de graphes en les traçant sur des surfaces minimales périodiques. L’enchevêtrement est maximisé, en quelque sorte, lorsqu’on part de graphes qui sont des arbres dans le revêtement universel (hyperbolique) de la surface. Tenant compte des symétries nécessaires, cet ensemble d’arbres est ensuite projeté sur la surface minimalement plongée dans l’espace euclidien, donnant lieu à toute une zoologie de structures : le diamant, bien connu, mais aussi des graphes tri-coordonnés formant des faisceaux de doubles hélices, homo- ou énantio-mériques selon les cas. 2e exemple ici [2].

D’autres images sont disponibles sur le site australien.

3. Cristaux liquides : mésophases de polymères étoilés poly-philes

En tenant compte aussi bien des contraintes topologiques –problème de coloriage de graphes ou de partitions– et de conditions de stabilité, nous avons posé les bases théoriques régissant les modèles de structures compatibles avec les affinités spéciales des polymères étoilés polyphiles. Généralisant les surfactants, amphiphiles, ces molécules ou lignactants ont trois (ou plus) branches non-miscibles. Les coeurs de ces lignactants s’assemblent le long des lignes triples. Ces lignes n’ont pas de bout. Au moins un des trois domaines s’étend de manière connexe jusqu’à l’infini, au bord de l’échantillon (théorème de recouvrement de Lebesgue). La partition de l’espace en trois n’a pas de sommets stables [34] ; ils se relaxent selon des voies dont nous avons énuméré la typologie pour les plus simples.

Deux exemples : une phase lamellaire traversée par des tubes ; 3 réseaux srs enchevêtrés.

Nous avons proposé une analyse des morphologies en termes d’empilement et d’énergie. Deux contributions émergent au premier ordre : une énergie d’interface (analogue aux amphiphiles), et une énergie de torsion liée à l’empilement des étoiles le long des lignes triples. Cette première approche prédit quelles structures sont les plus favorables en fonction des paramètres d’évasement et d’encombrement relatifs des composants moléculaires [14].

4. Physique des mousses

Sur ce sujet, j’ai bénéficié de la collaboration de Marco Mancini qui y a consacré sa thèse de doctorat.

A l’échelle des bulles et des films, les configurations d’équilibre minimisent l’énergie proportionnelle au périmètre, c’est à dire à la somme des aires des interfaces liquide-gaz.

Intrigués par des expériences récentes montrant des images de mousses conformes [Elias et al. 1999, Weaire et al. 2004] nous avons établi les lois d’équilibre pour la mousse bidimensionnelle dessinée par le contact des films liquides avec une paroi arbitraire, plate ou courbe, mais toujours lisse. En incidence normale, les lois d’équilibre pour les sommets (à 2D) et les arêtes (à 3D) sont effectivement invariantes par transformation conforme [9].


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FIGURE 2.2: Mousse conforme hexagonale.


Ainsi, nous avons réussi à expliquer les jolies images observées expérimentalement. A l’ordre le plus bas, déformer une chambre de Hele-Shaw et enclencher un champ de gravitation donnent lieu au même type d’équations [8]. Autre résultat de nos calculs, le champ de pression dans les cellules varie de manière opposée à ce que prédirait une physique purement bidimensionnelle.

5. Statistique et topologie des mousses

A plus grande échelle, les mousses forment des systèmes structurés désordonnés, aléatoires, dont on connaît mal la distribution. Avec N. Rivier et T. Aste, nous analysons les corrélations de bulles au moyen de stratifications , partitions de la mousse en couches.


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FIGURE 2.3: Mousse désordonnée et mousse cubiste (en vert) ; quelques couches partant du fond sont en noir.


Il y a une correspondance étroite entre le profil des couches et certains modèles de déposition - agrégation (Eden, par ex.). Cette analogie nous a permis d’établir des lois d’échelles décrivant la rugosité des couches [4].

D’autre part, nous avons mis en évidence une propriété d’hystérésis, assez générale dans la catégorie des processus déterministes que le désordre du milieu aléatoire rend irréversibles. On observe aussi un phénomène de convergence, donc un attracteur, dans la forme des couches. Par construction, la suite des couches dépend d’un point de départ, la couche zéro : une cellule origine, ou le bord de l’échantillon. La convergence signifie qu’assez loin, la suite ne dépend plus du départ. D’après nos simulations numériques, le temps caractéristique de convergence obéit encore aux lois d’échelles de la rugosité classique (KPZ à deux dimensions) [6].

Partitions de Voronoi/Laguerre

La partition de Voronoi autour des sites du réseau diamant.

6. Topologie des protéines

D’abord avec X. Oyharcabal, puis avec J. Esque qui a soutenu sa thèse en juillet 2010, nous avons développé un programme, VLDP, d’analyse structurale basé sur les complexes de Delaunay-Laguerre.

Le programme est disponible sur demande à vldp(at)ml.u-cergy.fr. Une version en ligne est hébergée sur le site du laboratoire DSIMB : VLDP web server [23].

Une première collaboration avec A. de Brevern, INTS Paris, a permis d’affiner la notion de contact inter-résidus, fondamentale dans nombre de théories sur le repliement et le fonctionnement des protéines. Nous avons également procédé à une analyse statistique précise des volumes des résidus dans les protéines globulaires. A cause de la compacité de l’empilement, la mesure des volumes s’avère utile à plusieurs titres : évaluer/discriminer des prédictions de structures, repérer des sites actifs, etc. [15].


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FIGURE 2.4: Composante connexe du reseau d’eau a travers PepA. Un canal aqueux menant du siderophore (en vert) au periplasme, en bas.


Avec M. Baaden, IBPC Paris, nous examinons la topologie de la protéines membraneuse FepA, plus particulièrement le réseau d’eau formé de canaux et de poches au sein de la protéine. Couplant dynamique moléculaire et topologie, nos calculs relèvent la présence de canaux aqueux nombreux, fins, ramifiés et mobiles. La fonction principale de FepA est de transporter du Fer à travers la membrane de bactéries, un nutriment dont elles ont besoin. Au préallable, le ion Fe est encapsulé dans un sidérophore (enterobactine). Le réseau d’eau est sensiblement diffèrent dans la protéine complexée avec le siderophore : moins d’ouvertures vers l’exterieur ; mouillage des contacts bouchon-tonneau. Ces résultats révèlent des mécanismes précurseurs au transport du sidérophore [?].

7. Reconnaissance ADN – protéines

Pour cet axe, je bénéficie de la collaboration éclairée de B. Hartmann et son équipe.

*pic:BPV-E2* L’étude fine de la dynamique des ADN en solution permet d’expliquer certains mécanismes de reconnaissance ADN-protéines, en particulier le rôle de l’ADN dans ces processus. Par dynamique moléculaire, nous avons analysé les fluctuations de structure et les corrélations temporelles de segments d’ADN. Nous avons trouvé des différences de flexibilité, dynamiques, dépendant de la séquence. Ces différences ont ensuite été confirmées et quantifiées par des mesures de RMN. Traduites en coûts énergétiques ou en probabilités, ces différences de flexibilité permettent une lecture indirecte de l’ADN par les protéines.

Nous avons étudiés en détails le cas du facteur de transcription E2 du papillomavirus [7] et le cas Jun-Fos [13].

Généralisant la méthode, notre approche est maintenant fondée sur une échelle de flexibilité des motifs séquentiels de l’ADN. Cette échelle quantitative, TRX, a été déduite par B. Hartmann et collaborateurs directement de mesures RMN sur des fragments d’ADN en solution. Ainsi, cet ensemble de valeurs ne souffre pas des biais affectant d’autres échelles connues aujourd’hui.

Nous avons validé cette échelle sur des interactions non spécifiques, le paradigme étant le nucléosome. En effet la majeure partie de l’ADN eucaryote est enroulé autour des octamères d’histones.


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FIGURE 2.5: Nucléosome : l’adn vert s’enroule autour du coeur d’histones rouge.


La forte courbure nécessaire à cet enroulement est vraisemblablement liée à la flexibilité intrinsèque de l’ADN. Sur des fragments synthétiques connus pour leur forte affinité pour le coeur histonique, l’analyse du signal TRX le long de la séquence d’ADN, en Fourier ou via les fonctions d’auto-corrélation, fait ressortir une forte contribution autour de la période 10 coïncidant avec le pas de l’hélice ADN [16].

L’ouverture des grand (MG) et petit (mG) sillons. de l’ADN és également bien représentée, donc prédite, par l’échelle TRX [17].